Arbitraggio su titoli a reddito fisso

L’arbitraggio su titoli a reddito fisso è un’operazione finanziaria che permette di ottenere un guadagno certo a fronte di un rischio nullo.

In particolare l’arbitraggio su titoli a reddito fisso riguarda operazioni finanziarie di acquisto e vendita di titoli a reddito fisso quali ZCB (Zero Coupon Bond) e titoli obbligazionari; affinché si possa realizzare un arbitraggio occorre che siano rispettate alcune condizioni

Le condizioni di fattibililtà dell’arbitraggio

– Assenza del rischio di default degli operatori del mercato (cioè tutti gli operatori finanziari sono in grado di far fronte ai propri impegni in termini di acquisto e consegna dei titoli)

– Possibilità di vendere allo scoperto i titoli (cioè senza esserne in possesso, in tal caso l’operatore perde il diritto a riscuotere eventuali cedole periodiche e si assume l’impegno di riacquistarli ad una determinata scadenza per poterli consegnare)

– Presenza di asimmetrie informative in merito ai prezzi dei titoli (cioè in un determinato istante gli operatori del mercato quotano il titolo con prezzi differenziati in diverse piazze, es. uno ZCB presenta un prezzo di 965 a Milano e 965,20 a Londra). Le asimmetrie di questo tipo sono determinate dal processo di formazione e valutazione economica dei prezzi che presenta peculiarità legate ad una valutazione soggettiva dell’operatore (essendo il prezzo il valore attuale dei flussi che paga il titolo durante la sua vita residua, attualizzati con un opportuno tasso di interesse)

– Assenza di costi di transazione (cioè costi amministrativi legati alle compravendite); questa può essere considerata un’ipotesi debole poiché nella teorie microeconomiche i costi di transazione sorgono proprio a causa della possibile presenza di asimmetrie informative, per cui al limite un arbitraggio può essere realizzato purché il guadagno certo sia superiore ai costi di transazione stessi

– Possibilità di frazionamento illimitato dei titoli (possibilità di acquistare e vendere un numero intero ma anche frazionario di titoli)

Se tutte queste condizioni sono rispettate e i titoli presentano, in un determinato istante t0 un prezzo diverso dal prezzo di equilibrio (detto prezzo di non arbitraggio) è possibile realizzare un arbitraggio non rischioso ottenendo un guadagno sicuro vendendo o acquistando titoli senza cedola (ZCB) oppure titoli obbligazionari e compiendo una o più operazioni di segno opposto per replicare il portafoglio. E’ importante precisare che il guadagno è ottenuto istantaneamente al tempo 0 mentre l’operazione è perfettamente neutra riguardo ai flussi che si verificheranno nei tempi successivi. Vediamo un esempio.

Un esempio di arbitraggio

Sul mercato finanziario con un orizzonte temporale di 2 anni è presente uno ZCB scadenza 1 anno prezzo corrente 965, valore nominale di rimborso 1000; inoltre è quotato anche uno ZCB a 2 anni prezzo corrente 929, valore di rimborso 1000. Sul mercato è quotato anche un titolo obbligazionario a 2 anni che paga cedole annuali con un tasso cedolare pari al 2% e valore nominale di rimborso 1000; sono presenti inoltre ZCB di durata annuale e biennale quotati ai prezzi a pronti, v.n. di rimborso unitario. Calcoliamo i prezzi a pronti e i tassi a pronti del mercato. Ipotizziamo inoltre che il titolo obbligazionario sia quotato al prezzo corrente di 967, verifichiamo la possibilità di realizzare un arbitraggio non rischioso costruendo inoltre il portafoglio di arbitraggio e fornendo la descrizione dell’operazione.

Risoluzione:

La relazione che lega i prezzi a pronti e i prezzi a termine è data da

v(t,s) = v(t,T) v(t,T,s)

dove

v(t,s) indica il prezzo a pronti dell’epoca più lontana

v(t,T) indica il prezzo a pronti dell’epoca intermedia

v(t,T,s) indica il prezzo a termine

mentre la relazione che lega i prezzi a pronti ai tassi a pronti è data dall’espressione

v(t,s) = [1 + i(t,s)]-(s-t)

dove v(t,s) indica il prezzo a pronti di ogni relativa epoca mentre i(t,s) esprime il tasso a pronti di ogni epoca. In termini algebrici il prezzo a pronti di ogni relativa epoca può essere visto come il fattore di sconto determinato dal tasso a pronti dei titoli per il tempo previsto dalla durata dell’investimento ed esso permette di determinare il prezzo corrente del titolo dalla relazione

P = v(t,s)∙VN

dove P indica il prezzo corrente del titolo zcb, v(t,s) il prezzo a pronti e VN il valore nominale dello zcb, per cui da tale relazione si ricava anche che

v(t,s) = P / VN

cioè il prezzo a pronti, per qualunque epoca, è dato anche dal rapporto tra il prezzo corrente del titolo zcb e il suo valore nominale

mentre dalla relazione che lega i prezzi a pronti ai tassi a pronti si ricava che

i(t,s) = v(t,s)-1/(s-t) – 1

oppure in alternativa si può scrivere il tasso a pronti dalla relazione

i(t,s) = (VN/P)1/(s-t) – 1

cioè il tasso a pronti può essere ricavato dalla radice (s-t) del rapporto tra il valore nominale del titolo e il suo prezzo corrente, dedotto 1

Tra i prezzi a pronti e i tassi a pronti esiste una relazione inversa, tale che se il tasso aumenta i prezzi si riducono e viceversa se i tassi si riducono, i prezzi aumentano

La relazione prezzi – tassi può essere descritta come nella seguente fig. 1

Arbitraggio su titoli a reddito fisso

dove essa esprime che v(t,s) indica il prezzo a pronti che permette di investire e calcolare il prezzo degli zcb da t a s (tempo più remoto) mentre v(t,T) indica il prezzo a pronti che permette di investire e calcolare il prezzo degli zcb da t a T (tempo intermedio); a sua volta v(t,T,s) indica il prezzo a termine che permette di conoscere il prezzo dei contratti a termine da T a s

Lo ZCB a 1 anno presenta un prezzo corrente di 965 e un v.n. di rimborso di 1000, per cui il suo prezzo a pronti è

V(0,1) = 965 /1000 = 0,965

mentre il tasso a pronti i(0,1) è dato dalla relazione

v(0,1) = [1 + i (0,1)]-1

da cui si ricava che i(0,1) = 1/0,965 – 1 = 0,03627 cioè tasso a pronti a 1 anno 3,627%

Lo ZCB a 2 anni presenta un prezzo corrente di 929 e un v.n. di rimborso di 1000, per cui il suo prezzo a pronti è

v(0,2) = 929/1000 = 0,929

mentre il tasso a pronti a due anni è dato da

v(0,2) = [1 + i (0,2)]-2

da cui si ricava che i(0,2) = (1/0,929)1/2 – 1 = 0,0375 cioè il tasso a pronti a 2 anni è il 3,75%

Da ciò si deduce che la struttura dei tassi è crescente (3,62% per 1 anno, 3,75% per 2 anni) come visibile dalla seguente figura (Fig. 2)

Arbitraggio su titoli a reddito fisso

Prezzi dei titoli obbligazionari o prezzi di ‘non arbitraggio’

Per quanto riguarda il prezzo di un titolo obbligazionario occorre specificare che il prezzo di equilibrio del titolo (detto anche prezzo di non arbitraggio) è dato dal valore attuale dei flussi che paga l’operazione, attualizzati al tempo t0 = 0, impiegando come fattori di sconto i prezzi a pronti di ogni epoca di riferimento, per cui se il prezzo del titolo è calcolato con la struttura dei tassi a pronti non è possibile realizzare alcun arbitraggio.

Poiché il titolo può essere quotato sui mercati, e poiché presenta inoltre un tasso cedolare per il computo delle cedole periodiche, in un determinato istante t, il titolo potrebbe presentare un prezzo corrente diverso dal prezzo di equilibrio (P ≠ V(t,x)), per cui occorre valutare se è possibile realizzare un arbitraggio vendendo allo scoperto i titoli, oppure acquistando i titoli a seconda che il prezzo corrente sia maggiore o minore rispetto al prezzo di equilibrio

Il prezzo di equilibrio del titolo obbligazionario è dato dalla relazione

V(t,x) = ∑k=1n xk∙v(t,tk)

dove

– V(t,x) indica il prezzo di equilibrio del titolo obbligazionario

– xk indica il valore dei flussi che paga il titolo nell’orizzonte temporale (cedole annuali, cedole semestrali, e valore nominale di rimborso nell’ultimo periodo)

– v(t,tk) indica i prezzi a pronti di ogni relativa scadenza (prezzo a pronti periodo 1, ecc.)

Indicando con Pc il prezzo corrente del titolo si ha che

– Se Pc > V(t,x) → conviene vendere allo scoperto il titolo obbligazionario e acquistare ZCB

– Se Pc < V(t,x) → conviene acquistare il titolo obbligazionario e vendere ZCB

– Se Pc = V(t,x) → non si ha alcun arbitraggio

Nell’esempio qui riportato si ha che:

Il titolo obbligazionario paga un tasso cedolare pari al 2% del valore nominale di rimborso, cioè le cedole annuali sono pari a 1000 x 2% = 20 mentre il valore nominale di rimborso è € 1.000, come visibile nella fig. 3

Arbitraggio su titoli a reddito fisso

Poiché il titolo obbligazionario è quotato al prezzo corrente di 967 occorre verificare se a questo prezzo è possibile realizzare un arbitraggio. Ciò sarebbe possibile se il prezzo corrente fosse diverso da quello di equilibrio che è pari a

V(t,x) = 20 x 0,965 + 1020 x 0,929 = 19,3 + 947,58 = 966,88

Poiché il prezzo corrente di 967 è leggermente diverso da quello di equilibrio (966,88) è possibile realizzare un arbitraggio non rischioso di cui proviamo a descrivere i passaggi:

Pc > V(t,x)

967 > 966,88

conviene vendere allo scoperto il TO e acquistare ZCB

Descrizione operazioni Flussi t = 0 Flussi t = 1 Flussi t = 2
Vendita allo scoperto di 1 unità TO Pc = 967 +967,00 -20 -1.020
Acquisto di 20 unità ZCB scadenza t=1 prezzo v(0,1) = 0,965 – 19,30 +20
Acquisto di 1.020 unità ZCB scadenza t=2 prezzo v(0,2) -947,58 +1.020
Saldi +0,12

L’operazione di arbitraggio sul titolo a reddito fisso presenta i seguenti passaggi

1) Poiché il titolo obbligazionario presenta un prezzo di poco superiore al suo prezzo di equilibrio conviene venderlo allo scoperto incassando la somma di 967 al tempo 0

2) In tal modo, tuttavia, l’operatore perde il diritto a incassare le cedole annuali di € 20 e inoltre si impegna a riacquistare il titolo alla scadenza per poterlo consegnare, per cui ha un flusso in uscita di 20 all’anno 1 e di 1.020 all’anno 2.

3) Con la somma incassata in t=0 l’operatore acquista 20 ZCB della durata di 1 anno al loro prezzo a pronti di 0,965 pagando il flusso in uscita di 19,30 ma in tal modo l’operatore incassa al tempo t=1 la somma di € 20 (che deriva dal rimborso degli ZCB al loro valore nominale) con cui copre il flusso in uscita delle cedole al tempo 1.

4) Allo stesso modo sempre in t=0 acquista 1020 ZCB a 2 anni al prezzo di 0,929 pagando il prezzo di acquisto di 947,58 e incassa fra 2 anni il valore nominale di rimborso degli stessi pari a € 1.020 e con questa cifra copre integralmente la cedola del secondo anno più il costo di riacquisto del titolo obbligazionario.

L’operazione di arbitraggio si chiude con un guadagno certo di € 0,12 istantaneo al tempo t=0 (esempio su un milione di titoli l’operatore si porterebbe a casa € 120.000 in un giorno).

Tale operazione è resa possibile dal fatto che il titolo obbligazionario può presentare un prezzo diverso da quello di equilibrio e ciò accade quando, istantaneamente, il prezzo corrente del titolo obbligazionario non coincide con quello che si ottiene applicando la struttura per scadenza dei tassi d’interesse che guida il mercato. Infatti risulta che in questo esempio

V(t,x) = 967 > 20 x [1+i(0,1)]-1 + 1020 x [1+i(0,2)]-2 cioè 967 > 966,88

Conclusioni

Se il prezzo corrente del titolo obbligazionario fosse esattamente corrispondente al prezzo di equilibrio non sarebbe possibile sfruttare l’arbitraggio. Ecco perché il prezzo di equilibrio è detto anche “prezzo di non arbitraggio”.

Esempi numerici ed elaborazioni di Giuseppe Badalucco

 

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